商集合 - 初級Mathマニアの寝言

この記事では、商集合という概念について説明します。この概念を理解しないと、少し高度な数学は理解できないというぐらい重要な概念です。

●同値関係

同値関係という概念を使って商集合は定義されます。同値関係よりも一般的な二項関係の概念は以下の通りです。

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$(a,b)\in R$ のとき、 $aRb$ と書きます。

例えば、 $\leq := \{ (a,b)\in {\bf R}\times {\bf R} | a-bは0以下\}$ は二項関係であり、 $(1,2)\in \leq$ なので $1\leq 2$ と書こうというわけです。

$S$ を任意の集合として、 $\mathcal{P}(S)$ を $S$ のベキ集合として、 $\subset := \{ (A,B)\in \mathcal{P}(S)\times \mathcal{P}(S)\,|\, a\in B\,\, \forall a\in A\}$ とすると $\subset$ は二項関係であり、 $\{1,2\}\times \{1,2,3\} \in \subset$ となるので、 $\{1,2\} \subset \{1,2,3\}$ と書こうというわけです。

${\rm People}$ をすべての人間の集合として、 $\Rightarrow := \{ (x,y)\in {\rm People} \times {\rm People}\, |\, x\,\, {\rm loves}\,\, y\}$ と定義すると、 $\Rightarrow$ は二項関係であり、 ${\rm 私} \Rightarrow 妻$ かつ $妻 \Rightarrow 私$ が成り立ちます。

同値関係は以下のように定義されます。

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例えば、整数全体の集合 ${\bf Z}$ には以下のような同値関係が考えられます。

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上で定義した二項関係 $\leq$ は同値関係になっていません。なぜなら、対称律が成り立たないためです。実際に、 $1\leq 2$ ですが、 $2\leq 1$ とはならないため、対称律は成り立たないことが分かります。また、上で定義した $\subset$ は同値関係ではありません。なぜなら、対称律を満たさないからです。さらに、上で定義した $\Rightarrow$ は同値関係になりません。なぜなら、反射律、対称律、推移律が成り立ちそうにないからです(特に対称律が成り立たないのは残念です)。