確率とは何か - 初級Mathマニアの寝言

コインを投げたとき表が出る「確率」は $\frac{1}{2}$ で、サイコロを投げたとき1が出る「確率」は ${ \frac{1}{6} }$ だとかよく言いますが、「確率」とは何でしょうか？そもそもなぜ「確率」というものを考える必要があるのでしょうか？

●「確率」を考える理由

「確率」の定義を考える前に、なぜそのようなものを導入する必要があるのか少し考えてみましょう。例として、コイン投げを考えます。コインを剛体と仮定しましょう。コインを投げるとは、ある力をコインへ加えたと考えられます。このとき、コインが従う運動方程式は

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というふうに書けます。つまり初期条件 $q(0), \dot{q}(0)$ を与えて上の運動方程式を解くことでコインの軌道 $q(t)$ が得られます。したがって、コインを投げてから何秒後には表を向いているのか裏を向いているのかを求めることができ、「確率」という概念は必要ありません！

というのは冗談で、我々は経験的に初期条件 $q(0), \dot{q}(0)$ と $F$ と $u$ が異なれば表が出るか裏が出るかが変わってくるということを知っています。これはコインの軌道 $q(t)$ を求めるためには厳密に $q(0), \dot{q}(0)$ と $F$ と $u$ を測定する必要があるということを意味しています。しかも、コインを投げる毎に。これは非常に手間のかかる作業で、ものすごい暇人しかできないでしょう、というか、 $F$ と $u$ を厳密に測定する方法があるのでしょうか？そこで、解析するのが難しい途中の軌道を考えることは諦めて、最終的な結果を得るために「確率」という概念を導入するのです。つまり、「確率」という概念を導入するということは問題をものすごく単純化することを意味しています。色々な雑音がランダムに振る舞う（「確率」的である）としてしまうのも難しいことを考えるのは止めて単純化していると考えることができます。

●初等的な定義（分かりやすいが不十分）

直感的に分かりやすい「確率」は次のものでしょうか。

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サイコロを振るという例では、「1が出る」、「2が出る」、「3が出る」、「4が出る」、「５が出る」、「６が出る」という 6個の根元事象があります。いま、それらの根元事象が1/6で出ると仮定しましょう。このとき「偶数が出る」という事象の確率は「偶数が出る」= { 「2が出る」, 「４が出る」, 「6が出る」} なので

「偶数が出る」確率=1/6×3=1/2

となる、というわけです。しかし、この「確率」の定義には次のような問題点があります。

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例えば、

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という例の場合半径は0から1の実数をとると考えるとその根元事象は無限にあるように思えます。また、半径が1/2以下になる事象の中の根元事象も無限にあるように思えます。このような問題に上の確率の定義では答えられないのです。では、上の例の問題に答えるにはどうすれば良いでしょうか？次のように「確率」を定義すると解決できるように思えます。

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この定義のもとで、線分の長さは面積の一種だと考えると、上の例は1/2が答ということになります。しかし、この定義も問題があります。なぜなら、サイコロを振る例の場合、標本空間の面積や事象の面積が数学的には0となってしまうからです。つまり、この定義を使ってサイコロを振って「偶数が出る」という事象の確率を求めることができません。初等的な確率と集合の面積を使った確率の両方の特徴を兼ね備えたものが現代的な「確率」の定義となります。

●現代的な定義（抽象的）

前の記事で述べたように数学とは集合の性質を写像を通して調べる学問です。現代的な確率の定義はそのようになっています。また、二つの初等的な確率の定義はこの現代的な定義に含まれます。暇な人は確認してみてください。現代的な確率を定義するために次の「集合の集合」を定義します。

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標本空間が与えられたとき、 $\sigma$ 加法族はたくさんあります。どんな事象の確率を計算したいかによって $\sigma$ 加法族を適切に設定するのです。例えば、サイコロを振ると 1, 2, 3, 4, 5, 6 という目が出ますが、その中で我々が知りたいのは偶数が出たか奇数が出たかだけであるとしましょう。[1], [2], [3], [4], [5], [6] という記号でそれぞれ「1, 2, 3, 4, 5, 6 の目が出た」という事象を表すとすると、次の図のように標本空間が分割されて、 $\sigma$ 加法族が定義されたとことになります。

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また、１の目が出たか否かを知りたいときは次のように $\sigma$ 加法族を設定するのです。

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$\sigma$ 加法族という概念を使うと確率測度という概念を定義できます。

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これで、ようやく確率を定義できます。確率の定義はここまで来ると簡単で、単に確率測度の値のことを言っています。

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確率を定義するために前の記事で述べたように、集合と写像を意識していることが確認できますね。つまり、確率とは $\sigma$ 加法族の要素を確率測度を通して[0,1]区間の上に写した結果の値のことであると現代の確率論では考えるのです。確率を定義するために抽象的な概念を経由しているので分かりにくく感じるかもしれませんが、このようにすることで非常に多くの例に対して確率の議論ができるようになったのです。