初級Mathマニアの寝言

数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。

線形代数

Courant-Fischerの定理,主成分分析,最適化の概要など

に載せてる8回目の動画 ではCourant-Fischerの定理,主成分分析,最適化の概要などを説明しています. ・0~27分ぐらいまで:Courant-Fisherの定理の説明 ・27分ぐらい~58分ぐらいまで:Courant-Fisherの定理の応用(シュティーフェル多様体が登場します) …

シュール分解,スペクトル分解,(半)正定値対称行列,特異値分解など

に載せてる7回目の動画 では,シュール分解,スペクトル分解,(半)正定値対称行列,特異値分解などを説明しています.興味がありましたらご覧ください. ・0~34分まで:シュール分解,スペクトル分解について説明しています. ・34分~1時間20分まで:(半)…

ノルム,内積,射影など

に載せてる6回目の動画 では,ノルム,内積,射影などを説明しています.興味がありましたらご覧ください. ・0~1時間5分ぐらいまで:ノルム,内積を導入して,任意の有限次元ノルム空間はバナッハ空間であることを説明しています. ・1時間5分~1時間38分…

発展的な線形代数の資料について

東京大学大学院情報理工学系研究科の線形数理要論という授業を担当しているのですが,新型コロナ対策のためオンライン授業をすることになり,急遽オンライン向けの資料などを用意することになりました.線形代数の発展版なので興味がございましたら以下をご…

特異値分解

この記事では線形代数の基本定理とも言われるほど応用上非常に重要な特異値分解について解説します。今はやりのデータサイエンスでもかなり使われています。 対称行列のスペクトル分解 特異値分解 行列の作用素ノルム 行列の低ランク近似 参考文献 対称行列…

行列のシュール分解

この記事では、与えられた複素正方行列 のシュール分解を紹介します。また、応用上よく利用される実対称行列のスペクトル分解はシュール分解の特別な場合であることも説明します。 シュール分解 以下のような行列 の固有値が対角成分に並んだ上三角行列への…

グラム・シュミットの直交化法とQR分解

この記事では、グラム・シュミットの直交化法とQR分解について解説します。 グラム・シュミットの直交化法 ベクトル は一次独立だとします。このとき、 は の基底となります。しかし、 は の正規直交基底ではないかもしれません。グラム・シュミットの直交化…

射影行列

この記事では射影行列について解説します。 射影行列の定義と性質 行列 が射影行列であるとは、\begin{align} P^2 =P \end{align} を満たすときに言います。 行列 が射影行列のとき、\begin{align} Q:= I_n-P \end{align} も射影行列であり( は の単位行列…

ベクトル空間の直和分解

この記事では、ベクトル空間の直和分解について解説します。 ベクトル空間の和と直和 ベクトル空間 の二つの部分空間 が与えられているとします。このとき、 は の部分空間でないかもしれませんが、\begin{align} V_1+V_2 := \{ x_1 + x_2\,|\, x_1\in V_1, …