初級Mathマニアの寝言

数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。

商集合

集合と位相

この記事では、商集合という概念について説明します。この概念を理解しないと、少し高度な数学は理解できないというぐらい重要な概念です。

●同値関係

同値関係という概念を使って商集合は定義されます。同値関係よりも一般的な二項関係の概念は以下の通りです。

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(a,b)\in R のとき、 aRb と書きます。

例えば、  \leq := \{ (a,b)\in {\bf R}\times {\bf R} | a-bは0以下\}は二項関係であり、 (1,2)\in \leq なので 1\leq 2 と書こうというわけです。

S を任意の集合として、 \mathcal{P}(S) を S のベキ集合として、 \subset := \{ (A,B)\in \mathcal{P}(S)\times \mathcal{P}(S)\,|\, a\in B\,\, \forall a\in A\} とすると \subset は二項関係であり、 \{1,2\}\times \{1,2,3\} \in \subset となるので、 \{1,2\} \subset \{1,2,3\} と書こうというわけです。

{\rm People} をすべての人間の集合として、 \Rightarrow := \{ (x,y)\in {\rm People} \times {\rm People}\, |\, x\,\, {\rm loves}\,\, y\} と定義すると、 \Rightarrow は二項関係であり、 {\rm 私} \Rightarrow 妻 かつ 妻 \Rightarrow 私 が成り立ちます。

同値関係は以下のように定義されます。

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例えば、整数全体の集合 {\bf Z} には以下のような同値関係が考えられます。

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上で定義した二項関係 \leq は同値関係になっていません。なぜなら、対称律が成り立たないためです。実際に、 1\leq 2 ですが、 2\leq 1 とはならないため、対称律は成り立たないことが分かります。また、上で定義した \subset は同値関係ではありません。なぜなら、対称律を満たさないからです。さらに、上で定義した \Rightarrow は同値関係になりません。なぜなら、反射律、対称律、推移律が成り立ちそうにないからです(特に対称律が成り立たないのは残念です)。

●商集合

集合に同値関係を定めることで、その集合を分割できます。対象としている集合の要素で同値なものを集めた集合を同値類と呼びます。

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 例えば、上で整数全体の集合 {\bf Z} 上に同値関係 \sim_2 を定義しましたが、これを使うと以下の同値類が作れます。

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同値関係 \sim_2 の定義から以下が成り立つことが分かります。

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これは同値関係 \sim_2 のもとでは、整数全体の集合 {\bf Z} は [0] と [1] によってなる事を意味しています。つまり、以下が成り立ちます。

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このように、集合 S に同値関係 \sim が定められると、その集合を同値類によって直和分解できます。

同値類全体の集合を商集合と呼び、以下のように書きます。

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例えば、 {\bf Z} の \sim_2 による商集合は以下のようになります。

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このように商集合は集合の集合になっています。

●同値関係による写像の分解

S/\sim の要素である a\in S の同値類を \bar{a} と書くことにすると、以下の S の S/\sim への自然な写像と呼ばれる写像を定義できます。

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二つの集合間の写像が与えられると、その写像を使って同値関係を以下のように定義できます。

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この同値関係を使うことで、写像が以下のように分解できます。

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とくに、写像 f が全射であるなら以下の可換図式が得られます。

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●参考文献

 記事を書くにあたって、以下の本を参考にしました。

集合・位相入門

集合・位相入門

 

 

凸解析

最適化

この記事では最適化理論の基盤となる凸解析の理論を解説します。

●最適化問題とは

目的関数と呼ばれる関数 f:{\bf R}^n\rightarrow {\bf R} を制約条件 x\in S \subset {\bf R}^n のもとで最小化する問題を最適化問題と呼びます。特に、 f が凸関数で、 S が凸集合である時、凸最適化問題と呼びます。凸最適化問題は効率的に解く方法がたくさん研究されています。

●凸集合と凸関数と凹関数

 次の性質を満たす集合を凸集合と呼びます。

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つまり、ある集合の任意の２点を結んだ線分がその集合に含まれるなら、その集合は凸集合です。凸集合と非凸集合のイメージ図は次のような感じになります。

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次の性質を満たす関数を凸関数と呼びます。

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凸関数と非凸関数のイメージ図は次のような感じになります。

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凸集合と凸関数はエピグラフという概念を通じて関係付けることができます。

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例えば、次のようにエピグラフを図示することができます。

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 凸集合と凸関数は次の関係があります。

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凸関数は最小化のしやすい関数ですが、最大化のしやすい関数としては次の凹関数があります。

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●狭義凸関数

凸関数は最小化しやすい関数ですが、最小値を与える点は一つとは限りません。最小値を与える点が存在すれば一つである凸関数を狭義凸関数と言います。

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狭義凸関数だからといって、最小値が必ず存在するとは限りません。最小値の存在しない狭義凸関数の例としては x や e^x があります。

 ●凸集合と凸関数の性質（極一部）

任意の数の凸集合の共通部分は凸集合になります。

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ある集合上の点によってパラメトライズされた凸関数は、そのパラメータについての上限を取っても凸関数となります。つまり、以下が成り立ちます。

f:id:ogyahogya:20160518163936p:plainこれにより、凸関数の共役関数が凸関数になることが保障されます(共役関数は今度紹介します)。また、これが

で紹介したレート関数が凸関数になる理由です。これが成り立つことは次の関係式より分かります。

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実際に、 f(x,y) は x について凸関数なので、 {\rm epi}\, f(\cdot,y) は凸集合となり、凸集合の共通部分は凸集合であることから {\rm epi}\, g も凸集合となる事が分かり、その結果 g は凸関数となることが分かります。上の関係式は以下のように証明できます。

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凹関数に関しても次のように同様の関係が成り立ちます。

f:id:ogyahogya:20160518172353p:plainこれにより、ラグランジアンから双対関数を定義したときに、双対関数が凹関数になることが保障されます(ラグランジアンと双対関数は今度紹介します)。

●微分可能な凸関数

微分可能な凸関数は次のように特徴付けられます。

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これは

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を意味していて、

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というような関係にあるということです。

また、微分可能な凸関数の最小値を与える点は勾配がゼロになる点です。

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●勾配情報の重要性

微分可能な関数 f(x) は勾配 \nabla f(x) を求めることができます。勾配の情報は関数の最小化を考えるにあたって便利です。このことを実感するために、次のようなユークリッド空間上の制約なしの最小化問題を考えましょう。

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ただし、目的関数 f は微分可能な凸関数であるとします。この問題を解くためには、現在の点を x_k としたときに f が減少する方向に進んでいけば良いです。つまり、

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の \eta_k が f の減少する方向であれば良いわけです。目的関数 f が減少する方向を調べるには点 x_k から微小に動いたときの f の関数値がどのように変化するかを調べれば良いわけで、そのようなことを調べるためには

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を t=0 で微分すれば良いです ( g_{\eta_k} の t=0 での微分は f の点 x_k での \eta_k 方向の微分を意味しているので)。 そこで、関数 g_{\eta_k} の t=0 での微分を計算してみると

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となります。よって、現在の点 x_k から \nabla f(x_k) の逆方向に進むと目的関数 f は減少するということが分かります。このことをもとに、進行方向を表す \eta_k を

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とした最適化アルゴリズムを最急降下法と呼びます。目的関数 f が微分可能な凸関数であれば \nabla f(x_k)=0 が点 x_k で最小値を取っている証となるので最急降下法のようなアルゴリズムを \nabla f(x_k)\approx 0 となるまで単純に反復すれば良いということになります。このように勾配情報は凸関数の最小化を実行するにあたって重要な情報となります。

●劣微分と劣勾配

上で勾配情報は凸関数の最小化を実行するにあたって重要だと述べましたが、凸関数は必ずしも微分可能であるとは限りません。例えば、 |x| は凸関数ですが、 x=0 で微分可能ではありません。しかし、勾配のようなものを微分可能でない凸関数に対しても定義することができます。まず、微分可能な凸関数 f の点 x での勾配 \nabla f(x) はエピグラフ {\rm epi}\, f の点 x における支持超平面を特徴付けたことを思い出しましょう。この支持超平面は \alpha= f(x)+\nabla f(x)^T (y-x) を満たす点 (y,\alpha) から形成されていました。微分可能でない凸関数 fに対しても、エピグラフ {\rm epi}\, f の点 x における支持超平面を考えることができ、その支持超平面を特徴付ける「勾配のようなもの」の集まりを劣微分と言います。

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そして、劣微分の要素である「勾配のようなもの」を劣勾配と言います。

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劣勾配は通常の勾配の一般化になっていることが次の性質が成り立つことから分かります。

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つまり、凸関数が微分可能だったら劣勾配は勾配と一致するというわけです。また、ある点における劣微分がゼロを含んでいたら(劣勾配にゼロのものがあったら)、その点で関数は最小値をとります。

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劣微分の計算方法を具体例で示しておきます。

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上の |x| という微分可能でない凸関数は、スパースな解が期待できるような最適化問題(最適解の成分はたくさんゼロになると期待できるような問題)によく利用されています。

●参考文献

(1) もっと数学的に細かいことが書いています。

非線形最適化の基礎

非線形最適化の基礎

 

 (2) スパースな解が期待できるような最適化問題について解説しています。

スパース性に基づく機械学習 (機械学習プロフェッショナルシリーズ)

スパース性に基づく機械学習 (機械学習プロフェッショナルシリーズ)

 

 

共役作用素

関数解析

この記事では今後の記事を書くために必要となる共役作用素について簡単にまとめます。共役作用素とは次のように定義される線形作用素です。

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正確には上の T の定義域は H_1 で稠密である必要があります。そのときに, 上の T^* が一意に定まります。

有界線形作用素 T の作用素ノルムと T^* の作用素ノルムは一致することが示せます。ここで、線形作用素の作用素ノルムとは

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のことです。これは、

ogyahogya.hatenablog.comで書いたリースの表現定理を利用することで証明できます。

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●参考文献

 もっと詳しく色々書いてます。

ヒルベルト空間と量子力学 改訂増補版 (共立講座 21世紀の数学 16)

ヒルベルト空間と量子力学 改訂増補版 (共立講座 21世紀の数学 16)

 

 

伝達関数

制御理論

この記事では線形システムの制御で重要な役割を果たす伝達関数について説明します。

●ラプラス変換

伝達関数を理解するためには関数のラプラス変換を知っている必要があります。ラプラス変換は次のように定義されます。

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上のラプラス変換は前の記事で説明したフーリエ変換に似ていますが、次のような違いがあります。

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ogyahogya.hatenablog.com

 

●伝達関数

線形システムの伝達関数は次のように入力関数のラプラス変換と出力関数のラプラス変換の比で定義されます。

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伝達関数は次のように座標変換のもとで不変です。

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●伝達関数と可制御性・可観測性

伝達関数の概念と前の記事で説明した可制御性と可観測性の概念は次のように結びつきます。

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ogyahogya.hatenablog.com

 

●伝達関数とインパルス応答行列

線形システムの入力としてインパルスというディラックのデルタ関数を加えたときの出力と伝達関数は次のように結びつきます。

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ディラックのデルタ関数については前の記事で詳しく説明しましたので興味のある人は見てください。

 

ogyahogya.hatenablog.com

 

●周波数応答

 上の議論よりインパルス応答行列のラプラス変換が伝達関数なわけですが、次のようにインパルス応答行列のフーリエ変換を周波数応答行列と言います。

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周波数応答行列と伝達関数の間には次のような関係があります。

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1入力1出力の周波数応答行列は周波数応答関数と呼ばれます。周波数応答関数が分かると過渡応答が分かるため制御工学では周波数応答関数を理解するが大事です。周波数応答関数を図的に理解する方法として、ナイキスト線図やボード線図と呼ばれるものがあります。ナイキスト線図やボード線図については制御工学の本を見てください。

●伝達関数の H^2 ノルム

線形システムの A 行列が安定、つまり、 A のすべての固有値の実部が負のときに

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が定義できて、これを伝達関数 G の H^2 ノルムと言います。前の記事で説明したプランシュレルの定理（パーセバルの等式ともいう）より

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となります。さらに

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なので

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となることが分かります。つまり、制御する側からすると ||G||_2 は小さいほど嬉しいわけです。

伝達関数の H^2 ノルムを定義通り計算しようとすると無限区間の積分を計算しなければならず、面倒です。しかし、 H^2 ノルムは定義通りに計算する必要はなく、以下のように容易に計算できます。まず、インパルス応答行列 g(t) を ||G||_2 の中へ代入すると次のようになります。

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さらに、

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 が成り立つことに注意すると、

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が成り立つことが分かります。上の W_c や W_o に関する線形行列方程式はリヤプノフ方程式と呼ばれており、解は上のように積分の形で具体的に表示できるのですが、実際には積分を計算せずに他の解法アルゴリズムを用いて数値的に求めます。例えば、有名な計算ソフトフェアであるMatlabにはリヤプノフ方程式を解くlyapというコマンドが用意されていますが、その解法は積分を計算していません。

最後に、 W_c は可制御性グラミアン、 W_o は可観測性グラミアンと呼ばれ可制御ならば W_c は正定値対称行列となり、可観測ならば W_o は正定値対称行列となることに注意しておきます。

●参考文献

伝達関数の H^2 ノルムの辺りのところを参考にしました。

LMIによるシステム制御 - ロバスト制御系設計のための体系的アプローチ

LMIによるシステム制御 - ロバスト制御系設計のための体系的アプローチ

 

 

可制御性・可観測性

制御理論

前の記事で説明した線形システムの制御を考えるにあたって重要な可制御性と可観測性の概念について説明します。以下の記事

では、可制御可観測なシステム全体の集合の性質について解説しており、この記事の続編のような記事となっています。

 

●線形代数の復習(ケーリー・ハミルトンの定理と不変部分空間)

システムの可制御性や可観測性の性質を調べるためには線形代数の知識が少し必要です。特にケーリー・ハミルトンの定理や不変部分空間の概念を知っていると理解が深まりますので、まずはそれらから説明します。

 ケーリー・ハミルトンの定理は固有多項式に関する定理です。固有多項式とは何かというと、 n\times n 行列 A が与えられた時に定義される f_A(s):= \det (s I_n -A) のことです。 \lambdaが A の固有値になることと f_A(\lambda)=0 が成り立つことは等価です。次の定理がケーリー・ハミルトンの定理です。 f:id:ogyahogya:20151018121220p:plain

これから次のことが分かります。

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不変部分空間は次の性質を満たすベクトル空間のことです。

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不変部分空間についてより詳しくは、以下の記事を参考にしてください。

●可制御性

線形システムの可制御性は次のように定義されます。

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直感的には次の図のように、任意の点からスタートして原点に到達させることができる入力が設計できるときに可制御、そんな入力をどんなにがんばっても設計できないときに可制御でないということになります。

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可制御性の定義をもう少し数学的に書くと次のようになります。

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上の \mathcal{X}_c はベクトル空間であり、さらに A 不変部分空間であることが確認できます（詳細は後で書きます）。上の定義より、もしも  \dim \mathcal{X}_cが状態空間の次元より小さいなら可制御でないということになります。しかし、定義より \mathcal{X}_c の中の任意の状態は原点へ移すことができます。つまり, 状態空間を \mathcal{X}_c に限定すれば可制御だと考えられるわけです。実際に、次のように元の状態空間 {\bf R}^n を可制御な状態空間と不可制御な状態空間に直和分解できます。

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\mathcal{X}_c が A 不変部分空間であることは後で証明します。

●可観測性

 線形システムの可観測性は次のように定義されます。

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 これを数学的に書くと次のようになります。

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上の \mathcal{X}_{\bar{o}} はベクトル空間であり、さらに A 不変部分空間であることが確認できます（詳細は後で書きます）。上の定義より、もしも  \dim \mathcal{X}_{\bar o}が0より大きいと入出力データから初期状態 x_0 と区別できない状態が存在することになります。状態空間 {\bf R}^n は次のように可観測な状態空間と不可観測な状態空間に直和分解できます。

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\mathcal{X}_{\bar{o}} が A 不変部分空間であることは後で証明します。

●Kalmanの正準分解形

上の議論から状態空間 {\bf R}^n は次のように分解できます。

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 これより線形システムは次のように分解できます。

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上のように分解された形の線形システムをKalmanの正準分解形と呼びます。このように分解できることも後で証明します。

● \mathcal{X}_c が A 不変部分空間であることの証明

これを示すには

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を示せば良いです。なぜなら次のように {\rm Im}\, M_c は A 不変部分空間だからです。

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では、 \mathcal{X}_c={\rm Im}\, M_c を証明しましょう。

まず、 \mathcal{X}_c\subset {\rm Im}\, M_c を示します。

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次に、 \mathcal{X}_c\supset {\rm Im}\, M_c を示します。これを示すために

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という関係を利用します。上の W_c(t) は可制御性グラミアンと呼ばれています。今、次の関係が常に成り立つことに注意しましょう。

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よって、

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が成り立ちます。また、

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 が成り立ちますので、

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ということも言えます。よって、

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が成り立つことが分かり, \mathcal{X}_c\supset {\rm Im}\, M_c も示されました。

● \mathcal{X}_{\bar{o}} が A 不変部分空間であることの証明

ケーリー・ハミルトンの定理より

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と書けることを利用すると、

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が成り立つことが分かります。可制御性の時と同様の議論で {\rm Ker}\, M_o が A 不変部分空間であることを証明できるので主張が成り立ちます。

●Kalmanの正準分解形の証明

次のようにベクトル空間を定義します。

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定義から

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となります。次のように基底と行列を定義します。

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すると、 \mathcal{X}^1 は A 不変部分空間であることから

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ということが成り立ちます。 \mathcal{X}^2,\,\mathcal{X}^3,\, \mathcal{X}^4 に対しても同様の議論を繰り返し, 行列 B, C に対しても上の基底のもとでの表示を考えると次のことが成り立つことが分かります。

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よって、上の行列 T を用いることでKalmanの正準分解形が得られることが分かります。

●参考文献

 記事を書くにあたって次の本を参考にしました。

現代制御論

現代制御論

 

 

線形システムと制御

制御理論

制御の目的は対象とするシステムに適切な入力を加えて所望の出力を実現することです。

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この記事では制御を実行する手順と、システムの最も重要な数学モデルである線形システムについて説明します。

●制御の手順

制御するときに考える入力や出力は一つだけとは限らず、複数ある場合が多いです。例えば、車の運転は次の図のように入力数3で出力数2だと考えられます。

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制御を行う手順は次のようになります。

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まず、モデリングは対象とするシステムの数学モデルを立てることを意味しています。数学モデルは物理法則や実験から得られたデータで作られます。次に制御器の設計は対象とするシステムを制御するための入力を設計することを意味しています。これはモデリングによって得られた数学モデルを使って行われます。数学モデルが非常に複雑だと制御器を作れないことがあり、その場合はモデリングをやり直します。制御器が設計できたら、シミュレーションをしてその制御器で対象とするシステムがきちんと制御できてるか確認します。これがダメなら制御器の設計やモデリングをやり直します。シミュレーションで上手くいったら制御器を実装します。シミュレーションの段階では、すべて数学モデルを使っているため上手くいったが、現実の対象システムと数学モデルのギャップが大きすぎて上手くいかないことがあります。その場合には対象システムと数学モデルのギャップを縮めるためにモデリングからやり直します。制御器を実装して目標通り動いたら完成です。

車の運転の例では人は脳内に車のモデルを立ててると考えることができます（数学モデルではないと思いますが）。制御器は人の脳で、何度も運転をすることによって立派な制御器が得られます。運転免許証は車を運転するための制御器が脳内にできた証だと考えられます。

●モデリングの例

制御のための入力を設計するためには数学モデルがあったら便利です。モデリングは物理法則や入出力データを利用します。例えば、次のマス・バネ・ダンパー系を考えましょう。

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 上のマス・バネ・ダンパー系はニュートンの運動方程式を表していて２階の微分方程式となっています。

制御工学では1階の微分方程式で表されるシステムを対象システムとすることが多く、１階の微分方程式でシステムを表現できたら制御工学の多くの成果が利用できます。上のマス・バネ・ダンパー系を1階の微分方程式へ変換することは容易です。実際に次のように変換できます。

 

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x_1, x_2という新しい変数が出てきていますが、これを状態と呼びます。上の微分方程式系は状態方程式と言われているものです。次にこれを説明します。

●システムの状態方程式表現

システムの数学的な表現の一つに状態方程式表現と言われているものがあります。これは1960年頃にKalmanによって導入された表現で、現在では制御理論の研究分野で最もよく利用されている表現となっています。システムの状態方程式表現は次のような方程式系のことです。

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システムが上の状態方程式で表されるとき、そのシステムは線形システムであると言います。線形というのは変数 x, u, yについて線形だからです。

線形システムは非常に重要です。なぜなら多くのシステムが線形システムで近似できるからです。例えば、次のような非線形システムは平衡点まわりでは線形システムで近似できます。

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また、偏微分方程式系も線形システムとして近似できます。例えば、次のようにできます。

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●線形システムの制御

 線形システムを制御することを考えます。ここでは簡単のために y=x の場合を考えます。まず、状態方程式の解を調べてどのような制御が必要になるか考えてみましょう。状態方程式の解は次のようになります。

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ここで、次のように何も入力を加えないとすると解は

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となります。よって、

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となることが分かります。つまり、入力を加えなかったら状態が発散する恐れがあります。これを防ぐために

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という設計問題を考えるのは自然です。ただし、 0は目標状態とします。これは次のようなフィードバックを利用することで実現されることがあります。

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次のように定数行列として与えられた制御器が最も簡単なものです。

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これは入力を

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としたことに相当します。このとき

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 となります。よって

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となります。このような Kは線形行列不等式(LMI)

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 の解 (X,Y) を用いて

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と与えることができることが知られています。

上のようなLMI制約を満たす変数の集合は凸集合となります。制御工学の分野では上のようなLMI制約のもとで、ある凸関数で表された評価関数を最小化（最大化）して制御器を設計せよという研究が盛んに行われていた時期がありました（今でも結構あります）。この問題は凸最適化問題となるため、最適化理論の分野でよく研究された成果を利用することができます。しかし、線形システム以外のシステムに対しては制御器の設計問題を凸最適化問題へ帰着させることは困難です。つまり、対象システムを線形システムとしてモデリングしなかったら制御器の設計は非常に難しくなります。対象システムを線形システムとしてモデリングすることは制御器の設計を簡単に行う上でも重要です。

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●参考文献

 (1) タイトルの通り制御工学の考え方が分かりやすく書いています。

制御工学の考え方―産業革命は「制御」からはじまった (ブルーバックス)

制御工学の考え方―産業革命は「制御」からはじまった (ブルーバックス)

 

(2) 線形システムの制御器の設計が凸最適化問題に帰着することが分かりやすく書いています。

LMIによるシステム制御 - ロバスト制御系設計のための体系的アプローチ

LMIによるシステム制御 - ロバスト制御系設計のための体系的アプローチ

 

 

情報幾何学1: 確率分布とリーマン多様体

確率とか

今回は確率分布が作る幾何学について説明します。

●フィッシャー情報行列とリーマン多様体

まずは、前の記事で説明したような応用上よく出てくるガウス分布が幾何学的に次のように理解できることに注意しましょう（多様体についてはこちら）。

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上の例のようにパラメータの組を一つ定めると確率密度関数を定めることができます。このことを一般化して次の確率分布の族である統計モデルと確率分布を特定するパラメータの集合である多様体を同一視できます（厳密には統計モデルにいくつかの条件を付ける必要がありますが、応用上気にしなくて良いことが多いです)。 f:id:ogyahogya:20150414171034p:plain

確率分布が作る幾何学を考えるときに重要なフィッシャー情報行列はつぎのように定義されます。

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フィッシャー情報行列は定義から対称行列であることが分かります。さらに、フィッシャー情報行列 G(\xi) が任意の \xi\in \Xi について正定値対称行列であれば、多様体 \Xi は G(\xi)に対応するリーマン計量を導入することでリーマン多様体となります。このフィッシャー情報行列に対応するリーマン計量をフィッシャー計量と呼びます。よって、パラメトライズされた確率分布の族が与えられたらフィッシャー計量を導入することでパラメータたちの距離を測ったりするなどの幾何学的な議論ができるようになります。具体的には、次のように近くのパラメータの距離を定義することができます。

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●フィッシャー情報行列の具体的な計算

フィッシャー情報行列を定義通り計算すると計算量が多くなることがよくあります。計算量を減らすために次の公式を利用できます。

f:id:ogyahogya:20150414111738p:plain例えば、ガウス分布のフィッシャー情報行列を計算してみましょう。

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 上の例では、フィッシャー情報行列を使って次のことも言えます。

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●参考文献

 情報幾何学の創始者である甘利俊一先生の英語の本を参考にして記事を書きました。

Methods of Information Geometry (Tanslations of Mathematical Monographs)

Methods of Information Geometry (Tanslations of Mathematical Monographs)

 

●予告

今回紹介したフィッシャー情報行列は統計学の方でも非常に重要なクラメール・ラオの不等式と密接な関係があります。クラメール・ラオの不等式は推定値の誤差をどれだけ減らせるかの限界を示した不等式です。次回は情報幾何学から脱線してフィッシャー情報行列とクラメール・ラオの不等式の関係について詳しく説明します。